http://sumirinjournal.wordpress.com

02_TINJAUAN PUSTAKA

Posted in Laporan_Penelitian by sumirinjournal on Maret 23, 2010

2.1     Teori Stabilitas Struktur

2.1.1  Konsep Stabilitas

Instabilitas merupakan keadaan dimana perubahan geometri pada struktur atau komponen struktur di bawah gaya tekan mengakibatkan kehilangan kemampuan untuk menahan beban (Chen, W.F. dan Lui, E.M., 1987). Konsep stabilitas struktur dapat digambarkan dengan tiga cara, yaitu sebagai berikut  :

1). Stabilitas berdasarkan posisi keseimbangan.

Sebuah bola dalam posisi keseimbangan di atas permukaan cekung bila diberi gangguan beban yang dapat mengakibatkan sedikit perpindahan struktur akan kembali pada semula (Gambar 2.1a). Posisi ini disebut posisi keseimbangan stabil (stable equilibrium). Jika gangguan beban diberikan terhadap bola pada posisi permukaan cembung (Gambar 2.1c), bola akan berpindah seterusnya dan tidak kembali ke posisi semula. Posisi bola ini disebut keseimbangan tidak stabil (unstable equilibrium). Jika gangguan beban diberikan terhadap bola pada posisi permukaan rata (Gambar 2.1b), bola akan berada pada keadaan keseimbangan pada posisi baru. Posisi ini disebut keseimbangan netral (neutral equilibrium).

2). Stabilitas berdasarkan sistem kekakuan.

Sistem struktur berderajat kebebasan tertentu, hubungam gaya dan perpindahan sistem dinyatakan dalam fungsi matriks kekakuan. Jika fungsi matriks kekakuan positive definite,  sistem dikatakan stabil. Transisi antara sistem dari keadaan keseimbangan stabil ke netral maupun tidak stabil ditandai oleh titik batas stabilitas (stability limit point), dimana kekakuan tangen pada titik ini hilang atau sangat kecil mendekati nol.

3). Stabilitas berdasarkan prinsip energi potensial total nol.

Pada sistem elastis selalu menunjukkan tendensi keadaan dimana energi potensial total pada keadaan minimum.  Sistem dalam keseimbangan stabil jika deviasi dari keseimbangan keadaan semula meningkatkan total energi potensial, dan sebaliknya keadaan tidak stabil jika deviasi dari keseimbangan semula mengurangi total energi potensial sistem. Sistem dalam kondisi netral jika deviasi dari keseimbangan semula tidak menghasilkan peningkatan atau pengurangan energi potensial total sistem.

Gambar 2.1 Konsep stabilitas digambarkan bola di atas bidang lengkung : (a)Keseimbangan stabil, (b)Keseimbangan netral, dan (c)Keseimbangan tidak stabil .

Energi potensial ∏ terdiri atas energi regangan (elastis) U dan kerja dari beban W yang dapat didefinisikan :

∏ = U – W                             ……. 2.1

Berdasarkan teori Lagrange-Dirichlet, meminimumkan energi potensial ∏ akan mendapatkan kriteria fundamental untuk stabilitas keseimbangan struktur.

Jika perubahan beban adalah fungsi dari parameter λ dan δq1, δq2, …, δqn adalah variasi perpindahan, maka fungsi  ∏ dapat dijabarkan dengan deret Tailor untuk keadaan keseimbangan sebagai :

……… 2.2

dimana :

… adalah variasi pertama, kedua, ketiga dan seterusnya energi potensial.  Kondisi sistem struktur dalam keadaan keseimbangan  adalah :

Jika :    δ∏ = 0              untuk setiap δqi

atau    ∂∏ /∂qi =0        untuk setip harga i                                    ……………………… 2.4

Mengikuti teori Lagrange-Dirichlet, keadaan keseimbangan adalah :

Jika :   δ2∏ > 0            sistem dalam keadaan stabil.

Jika :   δ2∏ = 0            sistem dalam keadaan kritis.

Jika :   d2P<0              sistem dalam keadaan tidak stabil                   ……………………………………  2.5

Keadaan sistem kestabilan ini dapat dilukiskan dalam bentuk gambar seperti Gambar 2.2. (Bazant, 1991).

Gambar 2.2 Konsep stabilitas digambarkan dengan bola di atas bidang lengkung dengan berbagai keadaan : (a-f, h) Posisi keseimbangan stabil dan tidak stabil, (g)Variasi energi potensial yang merepresentasikan keadaan stabil. (Bazant, 1991).

2.1.2  Analisis Stabilitas Metode Energi

Untuk menjelaskan Analisis stabilitas dengan Metode Variasi kedua Energi Potensial digunakan contoh struktur rangka batang (truss) dua batang seperti Gambar 2.3 . Setiap batang bersifat elastis, kekakuan aksial setiap batang adalah k=EA/(L/cosa) dengan anggapan stiap batang tidak mengalami buckling lokal.  Regangan batang e=(Lcosa/cosq-L)/L. Panjang batang mula-mula adalah L/cosa dimana L adalah panjang setelah bentang struktur dan a adalah sudut kemiringan batang mula-mula.

Energi potensial :

. . . (persamaan 2.6)

Dengan mendiferensialkan, kita dapatkan kondisi keseimbangan :

. . . (persamaan 2.7)

Sehingga diperoleh :

. . . (persamaan 2.8)

Gambar 2.3 : Struktur 2 batang truss sederhana

Gambar 2.4 : Kurva hubungan beban P dengan respon sudut kemiringan batang q, Persamaan(8)

Untuk mengetahui keadaan stabilitas keseimbangan struktur diperlukan perhitungan turunan kedua dari P, untuk P konstan :

. . . (persamaan 2.9)

Dari persamaan 5 dapat dinyatakan :

. . . (persamaan 2.10)

Plot dalam gambar persamaan 10 Variasi kedua energi potensial  (∂2 /∂q2)  dibandingkan dengan kurva p (q) terlihat pada Gambar 2.5.

Gambar 2.5 : Kurva Variasi kedua energi potensial (∂2∏ /∂q2) dibandingkan dengan kurva P(q). Kondisi : kritis terjadi pada (∂2∏ /∂q2)=0, stabil pada (∂2∏ /∂q2)>0 dan tidak stabil pada (∂2∏ /∂q2)<0

2.2     Fenomena Buckling

Sebagian besar struktur yang memiliki dimensi langsing atau tipis dan mengalami tegangan tekan akan mengalami masalah instabiltas tekuk atau buckling. Buckling merupakan suatu proses dimana suatu struktur tidak mampu mempertahankan bentuk aslinya, sedemikian rupa berubah bentuk dalam rangka menemukan keseimbangan baru. Konsekuensi buckling pada dasarnya adalah masalah geometrik dasar, dimana terjadi lendutan besar sehingga akan mengubah bentuk struktur.  Fenomena tekuk atau buckling dapat terjadi pada sebuah kolom, lateral buckling balok, pelat dan cangkang (shell), seperti diperlihatkan pada Gambar 2.6.

Gambar 2.6 : Fenomena buckling pada struktur : (a)kolom langsing, (b)lateral buckling balok, (c)pelat tipis, (d)cangkang silindris dibebani aksial sumbu, dan (e)cangkang silindris dibebani tegak lurus sumbu.

Perilaku buckling beberapa jenis struktur dapat dilihat dari kurva hubungan beban-perpindahan. Perbedaan perilaku kurva beban-lendutan struktur kolom, pelat dan cangkang dapat diilustrasikan pada Gambar 2.7. Pada pelat, jika mekanisme pasca beban kritis dapat dipenuhi maka peningkatan beban di atas beban kritis dapat dicapai dengan meningkatnya perpindahan. Sedangkan pada cangkang beban maksimum terjadi pada beban kritis, setelah itu terjadi penurunan kekakuan secara signifikan, (Kuleuven, 2005).

Gambar 2.7 : Perbedaan perilaku beban-perpindahan pada struktur kolom, pelat dan cangkang (Kuleuven, 2005).

Analisis buckling merupakan teknik yang digunakan untuk menghitung beban buckling –beban kritis pada struktur yang menjadikan kondisi tidak stabil– dan ragam buckling (mode shape) –karakteristik bentuk– yang berhubungan dengan respon struktur yang mengalami buckling (ANSYS R.9.0, 2004). Ada dua teknik analisis buckling untuk memprediksi beban buckling dan ragam struktur buckling, yaitu analisis nonliiear buckling dan analisis eigenvalue linear buckling.

Metode analisis instabilitas secara umum ada dua jenis yaitu  bifurcation (eigenvalue, linear) buckling dan snap-through (nonlinear) buckling seperti diilustrasikan pada Gambar 2.8, (Lagace, 2002).  Pada metode pertama, analisis bifurcation buckling,  beban kritis buckling dianalisis pada titik bifurkasi dari idealisasi struktur elastis linier dengan penyelesaian masalah nilai eigen.  Meskipun analisis pendekatan dengan nilai eigen ini hasilnya tidak konservatif, akan tetapi karena lebih cepat metode ini dapat digunakan sebagai pendekatan awal.  Sedangkan metode kedua,  snap-through (nonlinear) buckling, biasanya lebih akurat dengan teknik analisis nonlinier. Pada analisis nonlinier snap-through buckling struktur dianalisis terhadap beban yang meningkat secara gradual tahap demi tahap sampai beban batas.

. . . (gambar 2.8)

2.3     Buckling pada Struktur Cangkang

Analisis buckling pada cangkang telah dilakukan sejak lebih dari 60 tahun yang lalu. Sebagai pioner dalam penelitian masalah ini adalah von Karman dan Tsin sejak tahun 1939 (Karman, v, 1962). Von Karman menganalisa perilaku buckling pada cangkang bola menggunakan ‘shalow cap model‘ dengan pendekatan model sebuah struktur dua batang miring seperti terlihat pada Gambar 2.9. Persamaan hubungan beban-lendutan cangkang kubah bola menurut von Karman dapat didekati menggunakan persamaan :

. . . (persamaan 2.11)

dimana :

po = (p.L)/(EA);    do= d/L;     ho=h/L    x=Ö(1+do2- 2hodo)

p        = beban merata

h        = tinggi cangkang

t         = tebal cangkang

L       = panjang batang dari tepi ke puncak

. . . (gambar 2.9)

Apabila persamaan 2.11 dihitung untuk berbagai variabel h* maka dapat diperoleh gambar hubungan beban-lendutan seperti pada Gambar 2.10. Gambar tersebut menunjukkan perilaku hubungan beban-lendutan yang nonlinier dimana pada ketinggian cangkang antara h*=0,20 sampai h*=0,15 terjadi  snap-through buckling.

. . . (gambar 2.10)

Meskipun perilaku buckling cangkang dapat diketahui, tetapi Von-Karman mengakui bahwa hasilnya belum lengkap untuk dapat menggambarkan sifat dasar buckling kubah bola. Sejak saat itu masalah buckling banyak dilakukan kajian oleh para peneliti berikutnya.  Dari banyak penelitian yang telah dilakukan diakui bahwa salah satu dari banyak kesulitan yang dihadapi adalah ketidakcocokan antara hasil analisa dengan hasil ekperimental.  Solusi yang lebih akurat untuk masalah cangkang terjepit aksisimetri snap-through buckling diberikan oleh Budiansky, Kaplan dan Fung yang menggunakan analisis numerik dibandingkan hasil eksperimental (Uchiyama, M., 2000).

Uchiyama(2000) melakukan studi model cangkang kubah dengan Finite Element Method menggunakan jenis elemen nine-node-shell yang dimodifikasi untuk melihat pengaruh ketidaksempurnaan / cacad (imperfection) geometri. Ketidaksempurnaan geometri divariasikan pada nilai kelengkungan dan tebal.  Dengan menggunakan batasan parameter buckling l ( fungsi angka Poisson, jari-jari, tinggi dan tebal cangkang), perilaku  cangkang akibat beban merata dapat didekati lebih baik (Uchiyama, M., 2000).

Studi nonlinier cangkang menggunakan Finite Element Method (FEM) dilakukan oleh Nygard (1986) pada kasus cangkang silindris akibat beban terpusat dengan analisis nonlinier geometri. Nygard(1986) mendapatkan perbedaan perilaku yang signifikan dengan variasi jenis elemen. Studi ini dilanjutkan oleh Bjaerum (1992) yang memperbaiki teknik solusi menggunakan metode panjang-busur (arc-length). Bjaerum (1992) melakukan analisis perilaku snap-through buckling dengan model Finite Element untuk cangkang silindris, seperti terlihat pada Gambar 2.11. (Felippa, C.A., 2004).

Model Bjaerum (1992) tersebut di atas dianalisa oleh Felippa, C.A. (2004) dengan jenis elemen cangkang tipis empat titik nodal dan pembagian elemen 8×8.  Perilaku snap-through struktur cangkang tersebut ditunjukkan pada Gambar 2.11. Dari gambar tersebut terlihat bahwa pengaruh tebal dan tinggi cangkang sangat menentukan perilaku snap-through buckling struktur cangkang. Untuk model cangkang yang sama telah dilakukan analisis oleh Sumirin (2007) dimana dengan bentangan tetap dilihat pengaruh variasi ketinggian dibanding bentangan (ho/L). Dari Gambar 2.12 menunjukkan bahwa perilaku post-buckling snap-through mulai pada ho/L=20 sampai ho/L=32.

. . . (ganbar 2.11)

. . . (gambar 2.12)

Perilaku snap-through buckling struktur bahan elastis dimanfaatkan dalam bidang mesin dan industri pada sebuah pegas piringan konus yang disebut sebagai pegas Belleville (Belleville spring) seperti diperlihatkan pada Gambar 2.13 (Cook, R.D., 1995;  Shigley, J.E., 1984). Pegas ini biasanya  digunakan untuk sistem pelontar peluru, sebagai ring baut dan keperluan lainnya.  Dari kurva beban-lendutan Gambar 2.13 terlihat bahwa untuk perbandingan tebal terhadap tinggi piringan t/h ≤ 1,41 perilaku struktur seperti pelat, tidak menunjukkan gejala snap-through.

. . . (gambar 2.13)

2.4 Analisis Linier Buckling

2.4.1  Permodelan Batang Tekan Kolom

Pada beban aksial tekan, sebuah kolom yang cukup langsing akan dapat cenderung mengalami keruntuhan akibat lendutan lateral dari pada kegagalan akibat kehancuran bahan.  Fenomena ini disebut sebagai tekuk (buckling), merupakan prototipe sederhana yang menggambarkan masalah stabilitas struktur, dan hal ini merupakan masalah stabilitas yang dalam sejarah pertama kali dipecahkan oleh Euler tahun 1744 (Timoshenko, 1953).  Euler pertama kali menurunkan persamaan beban buckling tekuk kolom sebagai :

. . . (persamaan 2.12)

Karakteristik mendasar dari keruntuhan tekuk adalah bahwa beban runtuh tergantung kepada modulus elastis dan kekakuan penampang dan hampir tidak tergantung kepada kekuatan bahan atau batas leleh bahan. Penambahan dengan melipatkan kekuatan bahan akan hanya berpengaruh kurang dari 1 persen terhadap beban runtuh untuk berbagai macam properties kolom (Bazant, 1991).

Perumusan Matriks Kekakuan Tegangan Awal

Tinjau sebuah elemen balok-kolom yang menerima beban aksial P beban lainnya {q} seperti ditunjukkan pada Gambar 2.14 (a), deformasi batang pada Gambar 2.10(b). Dengan asumsi deformasi kecil dan sifat bahan linier mengikuti Hukum Hooke, hubungan deformasi terhadap beban {q} dan P tertentu. Deformasi {d} dapat dihitung berdasarkan beban P dan {q} dengan hubungan linier matriks kekakuan dapat diturunkan dengan prinsip konservasi energi.

. . . (gambar 2.14)

Elemen batang diasumsikan dibebani dalam dua tahap. Pada tahap pertama dibebani beban aksial P, sedangkan pada tahap kedua batang menderita beban {q} dengan selama beban P tetap.  Keseimbangan pada tahap pertama dan kedua kerja luar harus sama dengan energi regangan.  Kerja luar pada pembebanan tahap kedua adalah (Chajes, 1974) :

. . . (persamaan 13)

dimana suku pertama adalah kerja akibat {q} dan suku kedua adalah kerja akibat P. Energi potensial yang tersimpan pada batang selama dua tahap adalah:

. . . (persamaan 14)

Menyamakan energi potensial dari tegangan dan kerja luar akan diperoleh :

. . . (persamaan 15)

Dengan membuat hubungan  {q}=[k]{δ}  dimana [k] adalah matriks kekakuan elemen, maka persamaan (3) menjadi :

. . . (persamaan 16)

Evaluasi [k] memerlukan perubahan ruas kanan persamaan (2.15) dalam bentuk matriks.  Untuk maksud tersebut lendutan y diasumsikan dengan menggunakan fungsi polinomial pangkat 3 sebagai berikut :

. . . (persamaan 17)

Memperhatikan kondisi batas ujung-ujung batang pada  Gambar 2.16 (b) diperoleh:

y = -δ1,                        y’ = δ2 pada x = 0

y = -δ3 y’ = δ4 pada x = 1

Substitusi kondisi ini ke persamaan menghasilkan :

. . . (persamaan 18a)

atau dalam bentuk matriks :

. . . (persamaan 18b)

atau

y = [A] [δ]

Diferensial persamaan (2.18.b ) memberikan :

. . . (persamaan 19a)

dan

. . . (persamaan 19b)

dimana:

. . .

dan

. . .

Dalam bentuk kuadrat :

. . . (persamaan 20a)

. . . (persamaan 20b)

Substitusi bentuk ini ke dalam persamaan (2.15) memberikan :

. . . (persamaan 20c)

diperoleh :

. . . (persamaan 20d)

Menggunakan persamaan (2.21a) dan (2.21b) untuk nilai [C] dan [D] dihasilkan bentuk matriks kekakuan :

. . . (persamaan 22)

Matriks [k] persamaan (2.22) terdiri atas dua bagian yaitu : pertama matriks kekakuan konvensional [k’] dari batang terlentur, dan kedua matriks representasi pengaruh beban aksial pada kekakuan lentur yang disebut juga matriks kekakuan tegangan awal [ko]. (Chajes, 1974). Matriks [ko] dalam persamaan (2.22) terjadi akibat adanya energi potensial dari tegangan awal serta sebuah pendekatan terhadap regangan aksial yang dihubungkan dengan lentur (Weaver, 1991).  Elemen-elemen matriks secara fisik dapat diintepretasikan sebagai gaya tambahan yang diperlukan dalam [k’] untuk menghasilkan satu satuan peralihan titik nodal akibat adanya gaya aksial P.

2.4.2  Elemen Hingga Cangkang Aksisimetri

Geometri Cangkang Aksisimetri

Cangkang aksisimetri adalah cangkang putar menyerupai benda padat putar dalam pengertian bahwa elemen simetris terhadap sumbu. Seperti pada cangkang lainnya, cangkang aksisimetri memerlukan perhatian khusus pada uraian geometrinya, hubungan regangan-perpindahan, dan medan perpindahan yang di asumsikan.

. . . (persamaan 23)

. . . (persamaan 24)

. . . (persamaan 25)

. . . (persamaan 26)

. . . (persamaan 27)

. . . (persamaan 28)

. . . (persamaan 29)

. . . (persamaan 30)

About these ads

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s

Ikuti

Get every new post delivered to your Inbox.

%d bloggers like this: